天天微速讯：三角形中的线段

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天天微速讯：三角形中的线段

2023-06-26 22:39:42 来源：哔哩哔哩小 中

上次我们算出了三角形的高，中线，角平分线的公式，当时我算出来的高的公式是

(资料图片)

√(-a⁴-b⁴-c⁴+2a²b²+2b²c²+2c²a²)/2c

当时我以为括号里的式子不能再化简了，直到后来看到一个视频，讲了如何因式分解式子 a⁴+b⁴+c⁴-2a²b²-2b²c²-2c²a²，他将a看作字母，b，c看作数，进行因式分解，但是过程我不记得了，就顺着这个思路进行分解：

原式＝a⁴-2a²b²-2a²c²+b⁴+c⁴-2b²c²

＝a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴-2b²c²

＝a⁴-2（b²+c²）a²+（b²-c²）²

到这一步后，我一开始想用平方差公式和十字相乘法进行因式分解，但是发现用了平方差后就无法用十字相乘法分解了。思考了一段时间后，我想到了配方，：

a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴-2b²c²

＝a⁴-2（b²+c²）a²+b⁴+c⁴+2b²c²-4b²c²

＝a⁴-2（b²+c²）a²+（b²+c²）²-4b²c²

＝（a²-b²-c²）²-（2bc）²

＝（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc）

这样，我们就把这个式子分解了

所以三角形边长为c的边上的高

h＝

√[（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc）]/2c

面积S＝

√[（a²-b²-c²+2bc）（a²-b²-c²+2bc）]/4

再求出三角形的中线长和角平分线长的公式后，我又想，能不能求出三角形顶点和将它的对边分成m,n两份的点的连线（我称之为“m∶n分边线”）的长度，以及将一个内角分为α和β两部分的线段（我称之为“α∶β分角线”）的长呢？也就是下面两幅图中的CD长

（1）“m：n分边线”CD

和上次的思路一样，我仍然用余弦定理得出两个等式，然后相减

a²＝m²+l²-2mlcosα ①

b²＝n²+l²-2nlcos（180°-α）

＝n²+l²+2nlcosα ②

①-②，得a²-b²

＝m²-n²-2lcosα（m+n）

＝（m+n）（m-n）-（m+n）2lcosα

＝（m+n）（m-n-2lcosα）

＝c（m-n-2lcosα）

＝mc-nc-2clcosα

所以2clcosα＝mc-nc-a²+b²

由余弦定理可以得到，

cosα＝（m²+l²-a²）/（2ml）

所以2cl·（m²+l²-a²）/（2ml）

＝mc-nc-a²+b²

消去2l，两边同乘m，得

c（m²+l²-a²）=m²c-mnc-ma²+mb²

所以cm²+cl²-ca²＝m²c-mnc-ma²+mb²

消去cm²，将ca²变为ma²+na²并移到右边，得

cl²＝ma²+na²+mb²-ma²-mnc

约去ma²和-ma²，两边同除以c，得

l²＝（na²+mb²-mnc）/c

＝a²n/c+b²m/c+mn

所以l＝√（a²n/c+b²m/c+mn）

（2）“α：β分角线”CD

一开始，我打算用之前的方法，用余弦定理得出两个式子，然后不断变化，得出结果。但是我发现这种方法计算量很大（我懒得算了），所以我放弃了这种方法。

接着，我想到了数学中的转化思想。只要我用a，b，c，α，β表示出m/c，n/c以及mn，就可以直接代入“m：n分边线”的公式得出“α∶β分角线”的公式。

这时就用到了面积法。

由于△BDC和△ADC在BD，AD边上的高相等，所以

S△BDC∶S△ADC＝BD∶AD

又因为S△BDC＝1/2×alsinα

S△ADC＝1/2 ×blsinβ

所以S△BDC∶S△ADC＝asinα∶bsinβ

所以asinα∶bsinβ＝BD∶AD＝m∶n

所以m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ

所以n/c＝bsinβ/（asinα+bsinβ）

m/c＝asinα/（asinα+bsinβ）

那么怎么表示mn呢？

因为m∶n∶c＝asinα：bsinβ：asinα+bsinβ

所以我们可以设

c＝k（asinα+bsinβ）

m＝kasinα，n＝kbsinβ

k＝c/（asinα+bsinβ）

所以mn＝k²absinαsinβ

＝abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）²

所以l²＝a²n/c+b²m/c-mn

＝a²bsinβ/（asinα+bsinβ）+b²asinα/（asinα+bsinβ）-abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）²

＝ab（asinβ+bsinα）（asinα+bsinβ）/（asinα+bsinβ）²-abc²sinαsinβ/（asinα+bsinβ）²

＝［ab（a²sinαsinβ+b²sinαsinβ+absin²α+absin²β）-abc²sinαsinβ］/（asinα+bsinβ）²

＝［ab（a²sinαsinβ+b²sinαsinβ+absin²α+absin²β+2absinαsinβ-2absinαsinβ）-abc²sinαsinβ］/（asinα+bsinβ）²

＝ab［（a+b）²sinαsinβ-c²sinαsinβ+（sinα+sinβ）²ab］/（asinα+bsinβ）²

＝ab{[(a+b)²-c²]sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab}/

(asinα+bsinβ)²

＝ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]/（asinα+bsinβ）²

所以l＝√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]}/(asinα+bsinβ)

也许打字看起来有点乱，所以这一步我在纸上写了一遍

这样，我们就得到了三角形中“m∶n分边线”和“α∶β分角线”的公式：

“m∶n分边线”l＝√（a²n/c+b²m/c+mn）

“α∶β分角线”l＝√{ab[(a+b+c)(a+b-c)sinαsinβ+(sinα-sinβ)²ab]}/(asinα+bsinβ)

这篇文章真的花费了作者很长时间，喜欢就点个赞吧，三连更好

错误的地方可以指出来（错别字就算了），真理越辩越明

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